Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），AC⊥AB，且AB=AC，直线BC交轴于点D，抛物线经过点A，B，D．

（1）求直线BC和抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线BD下方的抛物线上一点，求△PCD面积的最大值，以及△PCD面积取得最大值时，点P的坐标；

（3）若点P的坐标为（2）小题中，△PCD的面积取得最大值时对应的坐标．平面内存在直线l，使点B，D，P到该直线的距离都相等，请直接写出所有满足条件的直线l的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）△PCD的面积最大值为，P（3，）；（3），，

【解析】

（1）如下图，先求出点C的坐标，从而求得BC的解析式，进而得出点D的坐标，从而得出抛物线的解析式；

（2）如下图，设点P的横坐标为，，将△PCD的面积用t表示出来，利用二次函数的性质求出最大值；

（3）存在三条直线，分别是△PDB三条中位线所在的直线．

解：（1）过点C作CE⊥轴，垂足为E．

∵AB=AC，∠AOB=∠CEA=90°，∠ABO=∠CAE，

∴△ABO≌△CAE．

∴AO=CE，BO=AE．

∵A（1，0），B(0，2)，∴CE=AO=1，AE=BO=2．

∴C(3，1)．

设直线BC的函数表达式为（）．

把点B（0，2），C(3，1)代入，得

解方程组，得

所以，直线BC的函数表达式为．

令，得，

∴D(6，0)．

∵抛物线经过点A（1，0），D (6，0)．

∴解方程组，得

∴抛物线的函数表达式为．

（2）过点P作轴的垂线，垂足为H，交BD于点F．令P的横坐标为．

∵点P在BD直线下方的抛物线上移动，

∴PF=．

过点C作CG⊥PF，垂足为G．

．

所以，当时，△PCD的面积取得最大值，最大值为．

此时点P坐标为（3，）．

（3）满足条件的直线有三条，是△PDB三条中位线所在的直线．

图形如下图，点I、J、K分别是BP、BD和PD的中点

∵P(3，-2)，B(0，2)，D(6，0)

∴I(，0)，J(3，1)，K(，-1)

∴IJ所对应的直线解析式为：

IK所对应的直线解析式为：

JK所对应的直线解析式为：

综上得：三条直线的函数表达式分别为，，．