Question

如图所示，在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=2，P是AC上与A、C不重合的一个动点，过P、B、C的⊙O交AB于D．设PA=x，PC²+PD²=y，求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围．

Answer 1

解：∵AB=4，AC=6，BC=2，
∴AB²=（4）²=48，AC²=6²=36，BC²=（2）²=12，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形，且∠A=30°，
连接PB，则PB为⊙O的直径，
∴PD⊥AB，
∵在Rt△APD中，∠A=30°，PA=x，
∴PD=x，
∴y=PC²+PD²=（6-x）²+=-12x+36（0＜x＜6）．
分析：先根据已知△ABC的三边关系求出∠A的度数，再连接PB，由圆周角定理可知△APD是直角三角形，由直角三角形的性质即可求出y与x之间的函数关系式．
点评：本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，解答此题的关键是连接BP，构造出直角三角形，再利用直角三角形的三边关系求解．