Question

如图17，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，

点E、F分别是边AB、AC上的中点，且EF∥BC．

（1）试说明△AEF是等腰三角形；

（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由.

Answer 1

（1）因为EF∥BC，所以∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C .

又因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，所以∠AEF＝∠AFE，

所以AE＝AF，即△AEF是等腰三角形．

（2）DE＝DF．理由如下：

方法一：因为AD是等腰三角形ABC的底边上的高，所以AD也是∠BAC的平分线．

又因为△AEF是等腰三角形，所以AG是底边EF上的高和中线，

所以AD⊥EF，GE＝GF，所以AD是线段EF的垂直平分线，所以DE＝DF.

方法二：因为AD是高，所以BD＝CD（三线和一）；又因为点E、F分别是边AB、AC上的中点，所以BE＝CF,又因为∠B＝∠C，所以△BDE≌△CDF （SAS），所以DE＝DF.