Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得出∠OMN=90，从而证得∠OMD=∠MNC；则△ODM∽△MCN；
（2）由DM=x，设OA=OM=R；则得出OD，由勾股定理得R与x的关系；
（3）可分为两种解法得出答案．由△ODM∽△MCN，得

MC

OD

=

CN

DM

，用含x的式子表示出CN，MN，从而得出△CMN的周长是一个定值．

解答：（1）证明：∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN=90°；（1分）
∵∠OMD+∠CMN=∠OMN=90°，
∴∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；（2分）
又∵∠D=∠C=90°；
∴△ODM∽△MCN；（3分）

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；
∴OD=AD-OA=8-R，（4分）
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，（5分）
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴OA=R=

x2+64

16

(0＜x＜8)；（6分）

（3）解法一：∵CM=CD-DM=8-x，
又∵OD=8-R=8-

x2+64

16

=

64-x2

16

且有△ODM∽△MCN，
∴

MC

OD

=

CN

DM

，
∴代入得到CN=

16x

x+8

；（7分）
同理

MC

OD

=

MN

OM

，
∴代入得到MN=

x2+64

x+8

；（9分）
∴△CMN的周长为P=CM+CN+MN=(8-x)+

16x

x+8

+

x2+64

x+8

=（8-x）+（x+8）=16．（11分）
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（12分）
解法二：在Rt△ODM中，OD=8-R=8-

x2+64

16

=

64-x2

16

，
设△ODM的周长P′=OD+DM+OM=

64-x2

16

+x+

x2+64

16

=x+8；（7分）
而△MCN∽△ODM，且相似比k=

CM

OD

=(8-x)•

16

64-x2

=

16

8+x

；（9分）
∵

△MCN的周长P

△ODM的周长P′

=

16

8+x

，
∴△MCN的周长为P=(x+8)•

16

x+8

=16．（11分）
在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．（12分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质以及切线的性质，是一道综合题，难度较大．