Question

如图，△ABC中，∠A=

1

2

∠B=

1

3

∠ACB，CD是高，S表示三角形的面积．求证：S_△ACD=3S_△BCD．

Answer 1

分析：由已知可得∠B=2∠A，∠ACB=3∠A，由三角形的内角和定理可得，∠A=30°，进而∠B=60°，∠ACB=90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半和三角形的面积公式即可证明．

解答：证明：∵∠A=

1

2

∠B=

1

3

∠ACB
∴∠B=2∠A，∠ACB=3∠A，
∵三角形三内角的和是180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，
即∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∠ACB=90°，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

•

1

2

AB．
∴AB=AD+BD=4BD，得 AD=3BD．                     
∴S△ACD=

1

2

AD•CD=

3

2

•BD•CD=3S△BCD．

点评：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半和三角形的内角和定理以及三角形的面积公式运用，是基础知识要熟练掌握．