题目内容
如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．动点P从点A开始在线段AB上沿A→B→A的路径以每秒2.5cm的速度运动，同时动点Q从点B开始在线段BC上以每秒1cm的速度向点C运动，设点P，Q运动的时间为t秒（0＜t＜8）．（1）求证：∠C=90°；
（2）若以P，Q，B为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
分析：（1）根据BC2+AC2=82+62=100=102=AB2，得出△ABC是直角三角形进而得出答案；
（2）分别根据当0＜t≤4时，①当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC，
当4＜t＜8时，③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，分别求出即可．
（2）分别根据当0＜t≤4时，①当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC，
当4＜t＜8时，③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，分别求出即可．
解答：（1）证明：在△ABC中，
∵BC2+AC2=82+62=100=102=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；
（2）解：（ⅰ）当0＜t≤4时，BP=（10-2.5t） cm，BQ=t cm．
①如图1，当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴
=
．
∴
=
．
∴解得：t=
．
②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴
=
．
∴
=
．
∴解得：t=
．
（ⅱ）当4＜t＜8时，BP=（2.5t-10）cm，BQ=t cm．
③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴
=
．
∴
=
．
∴解得：t=
．
④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴
=
．
∴
=
．
∴解得：t=8．
此时，不符合题意舍去．
综上，所求t的值为
，
，
．
∵BC2+AC2=82+62=100=102=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；
（2）解：（ⅰ）当0＜t≤4时，BP=（10-2.5t） cm，BQ=t cm．
①如图1，当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴
| BQ |
| BC |
| BP |
| AB |
∴
| t |
| 8 |
| 10-2.5t |
| 10 |
∴解得：t=
| 8 |
| 3 |
②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴
| BQ |
| AB |
| BP |
| BC |
∴
| t |
| 10 |
| 10-2.5t |
| 8 |
∴解得：t=
| 100 |
| 33 |
（ⅱ）当4＜t＜8时，BP=（2.5t-10）cm，BQ=t cm．
③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴
| BQ |
| AB |
| BP |
| BC |
∴
| t |
| 10 |
| 2.5t-10 |
| 8 |
∴解得：t=
| 100 |
| 17 |
④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴
| BQ |
| BC |
| BP |
| AB |
∴
| t |
| 8 |
| 2.5t-10 |
| 10 |
∴解得：t=8．
此时，不符合题意舍去．
综上，所求t的值为
| 8 |
| 3 |
| 100 |
| 33 |
| 100 |
| 17 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想的应用，根据已知得出P，Q不同位置进而得出相似三角形是解题关键．
练习册系列答案
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