Question

已知二次函数y=x²-（m-2）x+m-3．
①图象经过原点，则m=

 

；此时抛物线开口

 

，顶点坐标

 

，当x

 

，y随x的增大而减小．
②图象的对称轴是y轴，则m=

 

；与x轴的交点坐标为

 

，当x满足条件

 

时，y＞0
③图象的顶点在x轴上，则m=

 

；此图象关于y轴对称的图象的二次函数解析式

 

．

Answer 1

分析：①根据图象经过原点，即可得出图象过（0，0），求出m即可，再利用a＞0．得出开口向上，利用公式法求出二次函数顶点坐标，以及二次函数对称轴．
②根据图象的对称轴是y轴，得出-

b

2a

=-

-(m-2)

2×1

=0，得出m的值，再利用图象经过x轴，即y=0，求出即可，结合图象可得出y＞0的解集；
③根据图象的顶点在x轴上，得出b²-4ac=0，求出m的值，再利用此图象关于y轴对称，及顶点坐标关于y轴对称求出二次函数解析式即可．

解答：解：①∵图象经过原点，即可得出图象过（0，0），
∴m-3=0，
∴m=3，
∵a＞0，
∴开口向上，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴顶点坐标是：（

1

2

，-

1

4

），
∵对称轴直线x=-

b

2a

=

1

2

，开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；
∴x＜

1

2

时，y随x的增大而减小．
故答案为：3，上，（

1

2

，-

1

4

），＜

1

2

；

②∵图象的对称轴是y轴，
∴m-2=0，
∴m=2，
∴y=x²-（m-2）x+m-3．
=x²-1．
0=x²-1，
∴x=±1，
∴与x轴的交点坐标为：（-1，0），（1，0）．
结合图象开口向上，∴x＞1或x＜-1时，y＞0；
故答案为：2，（-1，0），（1，0），x＞1或x＜-1；

③∵图象的顶点在x轴上，
∴b²-4ac=0，求出m的值，
（m-2）²-4（m-3）=0，
解得：m=4，
∴y=x²-（m-2）x+m-3．
=（x-1）²，
∴此图象关于y轴对称的图象的二次函数解析式为：y=（x+1）²，
故答案为：4，y=（x+1）²．

点评：此题主要考查了二次函数的性质以及数形结合判定二次函数增减性和一元二次不等式解法等知识，熟练利用二次函数的图象性质进行解答是解题关键．