Question

19．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+m交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AH⊥x轴于H，连结BH，若OH：HC=1：5，S_△ABH=1，则k的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先设 OH=a，则HC=5a，求得m=3a，n=$\frac{5}{2}$a，k=$\frac{5}{2}$a²，再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3a}\\{y=\frac{5{a}^{2}}{2x}}\end{array}\right.$，得到A点坐标为（a，$\frac{5}{2}$a），B点坐标为（5a，$\frac{1}{2}$a），根据S_△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$a×（5a-a）=5a²，S_△ABH=1，即可得到k的值．

解答 解：设 OH=a，则HC=5a，
∴C（6a，0）代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m，得m=3a，
设A点坐标为 （a，n） 代入 y=-$\frac{1}{2}$x+m，得 n=-$\frac{1}{2}$a+3a=$\frac{5}{2}$a，
∴A（a，$\frac{5}{2}$a），代入 y=$\frac{k}{x}$得，
∴k=$\frac{5}{2}$a²，
∴y=$\frac{\frac{5}{2}{a}^{2}}{x}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3a}\\{y=\frac{5{a}^{2}}{2x}}\end{array}\right.$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{5}{2}a}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=5a}\\{y=\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（a，$\frac{5}{2}$a），B点坐标为（5a，$\frac{1}{2}$a），
∴AH=$\frac{5}{2}$a，
∴S_△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$a×（5a-a）=5a²，
∵S_△ABH=1，
∴5a²=1，即a²=$\frac{1}{5}$，
∴k=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．