Question

已知：抛物线，对称轴为直线，抛物线与y轴交于点，与轴交于、两点．

   (1)求直线的解析式；

   (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；

   (3)为抛物线上一点，若以线段为直径的圆与直线切于点,求点的坐标．

 

Answer 1

 

（1）

（2）

（3）

解析:解：（1）∵对称轴

       ∴           ……………………………………………………1分

        ∵ 

       ∴

设直线AC的解析式为

∵，, 代入得：

        直线的解析式为  ………………………………………2分

     （2）代数方法一：

过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N．

设，则…………………………………3分

       ∵

                      

              

             ……………………………………5分

       ∴当时，四边形ABCD面积有最大值.

       代数方法二：

        

       =

       = ……………………………………5分

       ∴当时，四边形ABCD面积有最大值.

      几何方法：

       过点作的平行线，设直线的解析式为.

      由得：………………………………3分

      当时，直线与抛物线只有一个公共点

即：当时,△ADC的面积最大,四边形ABCD面积最大

      此时公共点的坐标为       ………………………………4分

                       

=                                ………………………………5分

      即：当时，四边形ABCD面积有最大值.

（3）如图所示，由抛物线的轴对称性可求得（1，0）

        ∵以线段为直径的圆与直线切于点

       ∴过点作的垂线交抛物线于一点，则此点必为点. 

      过点作轴于点， 可证Rt△PEB∽Rt△BOC

       ∴，故EB=3PE，……………………………………………………6分

       设，

       ∵B（1，0）

       ∴BE=1-x，PE=

       ，

        解得（不合题意舍去），  

         ∴P点的坐标为： .………………………………………………7分