题目内容
如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”。
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_______；
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_______；
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
| 解：（1）等腰； | |
| （2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形， ∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2， ∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A， ∴四边形ABFE为正方形， ∴BF=AB=2， ∴F（2，0）； |
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| （3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下： ①当F在边BC上时，如图②所示， S△BEF≤  S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；②当F在边CD上时，如图③所示， 过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K， ∵S△EKF=  KF·AH≤HF·AH=S矩形AHFD，S△BKF=  KF·BH≤ HF·BH=S矩形BCFH， ∴S△BEF≤  S矩形ABCD=4，即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4， 下面求面积最大时，点E的坐标， ①当F与点C重合时，如图④所示， 由折叠可知CE=CB=4， 在Rt△CDE中，ED=  ，∴AE=4-2  ，∴E（4-2  ，2），②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示， 此时E（0，2）， 综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4-2  ，2）。 |
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练习册系列答案
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