题目内容

如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．
（1）求证：PQ是半圆O的切线；
（2）若点M从点C出发，沿线段CA向点A运动，N从点A出发，沿射线AP方向运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，点M运动到A即停止，设运动时间为t秒．
①设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△AMN的面积最大，最大值是多少？
②当△AMN为等腰三角形时，求运动时间t的值．

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠PAC=∠ABC（已知），
∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=90°（等量代换），
∴PQ⊥AB，
∴PQ是半圆O的切线；

（2）解：①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，则∠ADN=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ADN=∠ACB（等量代换）；
∵∠PAC=∠ABC，即∠NAD=∠ABC，
∴△NAD∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ （相似三角形的对应边成比例），
∵AB=10，AC=8，AN=CM=t，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ND= $\text{[math]}$ t，
∴S= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当t=4时，△AMN的面积最大，最大值是 $\text{[math]}$ ；

②在Rt△ABC中，BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =6，
∴cos∠CBA= $\text{[math]}$ ；
如图2，若MN=MA，作ME⊥AP，垂足为E，∴AE= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AEN中，cos∠MAE= $\text{[math]}$ =cos∠CBA= $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
如图3，若AN=NM，作NF⊥AC，垂足为F，则AF= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AFN中，cos∠NAF= $\text{[math]}$ =cos∠CBA= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
若AN=AM，有t=8-t，则t=4；
故当△AMN为等腰三角形时，t的值为 $\text{[math]}$ 、4或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）欲证PQ是半圆O的切线，只需证明PQ⊥AB即可；
（2）①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，构建相似三角形△NAD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例知 $\text{[math]}$ ，由此可以求得ND= $\text{[math]}$ t；然后根据三角形的面积公式可以求得S与t之间的函数关系式；最后根据二次函数最值的求法来求，△AMN的面积的最大值；
②需要分类讨论：求当AN为底、AM为底、MN为底三种情况下的时间t的值．
点评：本题考查了圆的综合题：圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）、勾股定理、三角形的面积公式、二次函数的最值的求法以及等腰三角形的性质等知识点的综合运用．注意：在解答（2）②题时，需要对等腰△AMN的底边进行分类讨论，以防漏解．