Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形…按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为    ；第n个正方形的面积为    （用含n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】分析：根据相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，继而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律．
解答：解：设正方形的面积分别为S₁，S₂…，S_n，
根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=，tan∠ADO==，
∵tan∠BAA₁==tan∠ADO，
∴BA₁=AB=，
∴CA₁=+，
同理，得：C₁A₂=×（1+）
由正方形的面积公式，得：S₁=（）²，
S₂=（）²×（1+）²，
S₃=（）²×（1+）⁴=5×（）⁴，
由此，可得S_n=（）²×（1+）^2（n-1）=5×（）^2n-2．
故答案为：5×（）⁴，5×（）^2n-2．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识．解此题的关键是找到规律S_n=（）²×（1+）^2（n-1）=5×（）^2n-2．