题目内容

某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y（元）．
（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；
（2）求y与x之间的二次函数关系式；
（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由．
（4）请把（2）中所求的二次函数配方成y=（x+m）2+n的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
考点：二次函数的应用
专题：
分析：（1）未租出的设备数=（租金-270元）÷10，未租出的设备的支出费用=未租出的数量×单价就可以得出结论；
（2）根据收益=租金收入-支出费用就可以得出y与x之间的二次函数关系式；
（3）当x=300或x=350时分别代入（2）的解析式求出其值即可；
（4）将二次函数化为顶点式，由顶点式的性质求出其解即可．
解答：解：（1）由题意，得
未租出的设备数为：
x-270
10
套；
所有未租出设备（套）的支出费用为：20×
x-270
10
=（2x-540）元．
答：未租出的设备数
x-270
10
套，所有未租出设备（套）的支出费用为（2x-540）元；
（2）由题意，得
y=（40-
x-270
10
）x-（2x-540），
y=-0.1x2+65x+540．
答：y与x之间的函数关系式为：y=-0.1x2+65x+540．
（3）由题意，得
当x=30时，y=-0.1×3002+65×300+540=11040元，
此时租出设备为：40-
300-270
10
=37套；
当x=350时，y=-0.1×3502+65×350+540=11040元，
此时租出设备为：40-
350-270
10
=32套；
（4）∵y=-0.1x2+65x+540．
∴y=-0.1（x-325）2+11102.5，
∴a=-0.1＜0，
∴x=325时，y最大=11102.5．
当x=325时，40-
325-270
10
=34.5（套）
∵34.5不是整数，
∴出租设备应为34套或35套，
∴40-
x-270
10
=34或40-
x-270
10
=35，
∴x=330或x=320
∴当x=330时，y=-0.1×3302+65×330+540=11100元，
当x=320时，y=-0.1×3202+65×320+540=11100元，
∴当x330或x=320时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大，最大月收益是11100元．
点评：本题考查了代数式表示数的运用，销售问题的数量关系收益=租金收入-支出费用，由自变量的值求函数值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
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