Question

【题目】如图，抛物线与轴分别交于，两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点，作垂直于轴于点，连接，且，，将沿轴向右平移个单位，当点落在抛物线上时，求的值；

（3）在（2）的条件下，当点第一次落在抛物线上时记为点，点是抛物线对称轴上一点.试探究：在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或9；（3）存在，或或，理由见解析

【解析】

(1)由的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)根据题意可求得点坐标,设平移后的点的对应点为,则点的纵坐标为,代入抛物线解析式可求得点的坐标,则可求得平移的单位,可求得的值;
(3)由(2)可求得E点坐标,连接交对称轴于点,过作轴于点,当为平行四边形的边时,过作对称轴的垂线,垂足为,则可证得,可求得,即可求得到对称轴的距离,则可求得点的横坐标,代入抛物线解析式可求得点坐标;当为对角线时,由的坐标可求得线段的中点坐标,设,由点的横坐标则可求得点的横坐标,代入抛物线解析式可求得点的坐标.

（1）

（2），且，∴且，∴

设平移后点的对应点、，则、点的纵坐标为8

代入抛物线得∴，

∴或

∵，∴当点落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位

∴或9

（3）∵抛物线对称轴为

∴可设，由（2）可知

①当为平行四边形的边时，连接交对称轴于，过作轴于

当为平行四边形的边时，过作对称轴的垂线，垂足为，如图

则

可知，∴

设，则

∴，或

∴或

②当为对角线时

∵，

∴线段的中点，则的中点为

设，且

∴，得

把代人抛物线可得

∴

∴或或