Question

如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，D为⊙O上一点，E是

BD

的中点，连接AD、CE并延长相交于点F，且AF⊥CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若EF=6，CE=10，求⊙O的直径的长．

Answer 1

分析：（1）要证明CF与⊙O相切；可以证明OE⊥CF．
（2）连接OE，则△COE∽△CAF，根据相似三角形的对应边的比相等以及在直角△CAF中，根据勾股定理可以得到关于半径与BC长的方程组，就可以求出．

解答：（1）证明：连接OE、OD；
∵E是

BD

的中点，
∴∠BOE=∠DOE=

1

2

∠BOD；
∵∠A=

1

2

∠BOD，
∴∠EOB=∠A；
∴OE∥AF；
∵AF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：设半径为R，CB=x，则：

x+R R = 10 6 (x+R)2=R2+102

，
∴2R=15；
∴⊙O的直径的长为15．

点评：证明切线可以证明直线经过半径的外端点，并且垂直于这条半径．