Question

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当t=2时，求△BPQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：S=$\frac{1}{2}$PM×QB=96-6t；
（2）当四边形ABQP为平行四边形时，AP=BQ，即21-2t=16-t，可将t求出；
（3）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ²=PM²+MQ²，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB²=BM²+PM²，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；
③若PB=PQ，PB²=PM²+BM²，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．

解答 解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．

∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，
∴S=$\frac{1}{2}$QB•PM=$\frac{1}{2}$（16-t）×12=96-6t（0≤t＜16）．
把t=2代入得到：S=96-12=84；

（2）当四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，
即21-2t=16-t，
解得：t=5，
∴当t=5时，四边形ABQP是平行四边形．

（3）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，由PQ²=BQ²得t²+12²=（16-t）²，解得t=$\frac{7}{2}$；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB²=（16-2t）²+12²，由PB²=BQ²得（16-2t）²+12²=（16-t）²，即3t²-32t+144=0，
此时，△=（-32）²-4×3×144=-704＜0，
所以此方程无解，∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB²=PQ²得t²+12²=（16-2t）²+12²得t₁=$\frac{16}{3}$，t₂=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=$\frac{7}{2}$或t=$\frac{16}{3}$时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 本题主要考查四边形综合题，注意梯形的性质、平行四边形的性质及勾股定理的应用．在解题（3）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．