Question

学完第一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M、N分别在正△ABC的边BC、CA上，且BM=CN，直线AM、BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍为真命题？（不要说明理由）
②若将题中的点M，N分别移到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？若能，请画出对应图形，并证明．
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的边BC，CA上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上”，是否仍能得到∠BQM=60°？若能，请画图并证明，若不能，请画图并求出∠BQM的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）先根据SAA定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠1=∠2，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出结论；
（2）①根据ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性质即可得出结论；
②同①可证△ABN≌△CAM，由全等三角形的性质即可得出结论；
③同①可得△ABM≌△BCN（SAS）故∠1=∠2，再由∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°即可得出结论．

解答：（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM与△BCN中，

AB=BC ∠ABC=∠C BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠AQN=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABC=60°，
∴∠BQM=60°；

（2）①仍为真命题；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠BQM=∠AQN=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ABM与△BCN中，

∠1=∠2 AB=BC ∠ABC=∠C

，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②如图2所示，
同①可证△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∵∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°，
∴仍能得到∠BQM=60°；
③不能得到∠BQM=60°，当正△ABC换成正方形ABCD时，∠BQM=90°，
如图3所示，同①可得△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°，即∠BQM=90°．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形及正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．