题目内容
12．小明学习了个新知识：等分积周线：如果一条直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
Rt△ABC，其中∠ACB=90°，AC=3，BC=4．
（1）如图①所示，小明想过点C画一条直线CD，CD平分△ABC的面积，其中D为AB上一点，则AD=$\frac{5}{2}$．
（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图②中过点A画了一条直线AE交BC于点E．你觉得AE能是“等分积周线”吗？请说明理由．
（3）小颖觉得“等分积周线”不一定过三角形的顶点，所以画了如图③中的直线MN，M，N分别是直线BC，AC上的点，并设MC=x，请帮助小颖探索MN能是“等分积周线”吗？请写出探索过程．
（4）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你在图④中画一条“等分积周线”，并通过计算确定它的具体位置．
分析 （1）如图①，由CD平分△ABC的面积可得AD=DB，只需求出AB就可解决问题；
（2）如图②，由AE平分△ABC的面积可得CE=EB=2，由此可得AC+CE≠AB+EB，故AE不是“等分积周线”；
（3）如图③，由MN是“等分积周线”可得CM+CN=6，S△MCN=$\frac{1}{2}$CM•CN=3，从而可得$\frac{1}{2}$x（6-x）=3，求出x，由点M在BC上，点N在AC上可得3＜x＜4，从而可得“等分积周线”不存在；
（4）如图④，由PQ是“等分积周线”可得AP+AQ=6，S△APQ=$\frac{1}{2}$S△ABC=3．设AP=x，则AQ=6-x．过点P作PH⊥AQ于H，易证△AHP∽△ACB，根据相似三角形的性质可得PH=$\frac{4x}{5}$，由S△APQ=3可求出x，由点P在AC上，点Q在AB上可得1＜x＜3，从而可得到x的值，即可得到AP、AQ的值．
解答 解：（1）如图①，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
∵CD平分△ABC的面积，
∴AD=DB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
故答案为$\frac{5}{2}$；
（2）AE不是“等分积周线”．
理由：如图②，
∵AE平分△ABC的面积，
∴CE=EB=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵AC+CE=3+2=5，AB+EB=5+2=7，
∴AC+CE≠AB+EB，
∴AE不是“等分积周线”；
（3）如图③，
∵直线MN平分△ABC的周长，
∴CM+CN=$\frac{1}{2}$（3+4+5）=6．
∵MC=x，∴CN=6-x．
∵直线MN平分△ABC的面积，
∴S△MCN=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×3=3，
∴$\frac{1}{2}$CM•CN=3，
∴$\frac{1}{2}$x（6-x）=3，
整理得x2-6x+6=0，
解得x1=3+$\sqrt{3}$，x2=3-$\sqrt{3}$．
∵点M在BC上，点N在AC上，
∴x＜4，6-x＜3，
∴3＜x＜4，
∴x不存在，
∴“等分积周线”不存在．
（4）如图④，PQ是“等分积周线”，
则有AP+AQ=6，S△APQ=$\frac{1}{2}$S△ABC=3．
设AP=x，则AQ=6-x．
过点P作PH⊥AQ于H，
则有∠AHP=∠C=90°．
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PH}{4}$=$\frac{x}{5}$，
∴PH=$\frac{4x}{5}$，
∴S△APQ=$\frac{1}{2}$AQ•PH=$\frac{1}{2}$（6-x）•$\frac{4x}{5}$=3，
整理得2x2-12x+15=0，
解得x1=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，x2=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$．
∵点P在AC上，点Q在AB上，
∴x＜3，6-x＜5，
∴1＜x＜3，
∴x=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，
∴6-x=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$．
∴AP=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，AQ=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，
∴点P在离点A$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$处，点Q在离点A$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$处．
点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程、勾股定理、三角形的中线平分三角形的面积等知识，需要说明的是：解决第（3）小题及第（4）小题的过程中，要考虑x的取值范围；另外，第（4）小题解题的过程中没有考虑直线与边BC、AB相交的情况，是因为通过计算可知该情况下“等分积周线”不存在．
| A． | $\frac{a（50-a）}{2}cm$2 | B． | $\frac{a（50-2a）}{4}cm$2 | C． | a（50-2a）cm2 | D． | a（25-a）cm2 |
| A． | 2x2+x | B． | 2x2-3x | C． | x+$\frac{1}{2}$ | D． | x-$\frac{3}{2}$ |