Question

有一个数列{a_n}是按以下规律组成的：

1

1

、

1

2

、

2

1

、

1

3

、

2

2

、

3

1

、

1

4

、

2

3

、

3

2

、

4

1

、

1

5

、

2

4

、

3

3

、

4

2

、

5

1

、

1

6

、…
问：（1）

27

50

是数列中的第几项？
（2）第200项是哪个分数？

Answer 1

分析：此题我们可以看出分子分母相加为n，这组就有n-1个数，
（1）先求出分子分母相加小于76的数的个数，加上27即可得出

27

50

在数列中的项数；
（2）先求出n=20时数列{a_n}的项数为190，200-190=10可得第200项的分子，由于第200项分子、分母之和为21，则第200项为

10

11

．

解答：解：根据题意分组得：

1

1

、（

1

2

、

2

1

）、（

1

3

、

2

2

、

3

1

）、（

1

4

、

2

3

、

3

2

、

4

1

）、（

1

5

、

2

4

、

3

3

、

4

2

、

5

1

）、

1

6

、…
若分子分母相加为n，这组就有n-1个数，
（1）∵50+27=77，∴

27

50

所在组有76个数，
则前一组就有75个数，依此类推前面所有组的数的个数为：1+2+3+4+…+75=

(1+75)×75

2

=2850，
而2850+27=2877，
所以

27

50

是数列中的第2877项；

（2）1+2+3+4+••+n=

(1+n)×n

2

，
当n=19时，1+2+3+…+19=

(1+19)×19

2

=190，
所以第200项分子、分母之和为21，第200项即为

10

11

．

点评：本题考查了数字的变化，解题的关键是发现数列{a_n}中分子分母相加为n的分数有n-1个．