Question

如图，在⊙O中D为弧AB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P，PE⊥BC于E，BC=12，CE：EB=3：1，求AB的长．

Answer 1

分析：求出BE、CE，证△CEP∽△PEB，求出PE，根据勾股定理求出PB，代入AB=2PB求出即可．

解答：解：∵BC=12，CE：BE=3：1，
∴CE=9，BE=3，
∵在⊙O中D为弧AB的中点，CD为直径，
∴CD⊥AB，AB=2BP，
∴∠CPB=90°，
∵PE⊥CB，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴∠C+∠CPE=90°，∠CPE+∠BPE=90°，
∴∠C=∠BPE，
∴△CEP∽△PEB，
∴

PE

BE

=

CE

PE

，
∴

PE

3

=

9

PE

，
∴PE²=27，
在Rt△PEB中，由勾股定理的：BP=

27+32

=6，
∴AB=2PB=12．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．