Question

【题目】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分线交AC于点D，在AB上取点O，以点O为圆心经过B、D两点画圆分别与AB、BC相交于点E、F（异于点B）．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点E恰好是AO的中点，求的长；

（3）若CF的长为，①求⊙O的半径长；②点F关于BD轴对称后得到点F′，求△BFF′与△DEF′的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）①r1＝1，；②△BFF'与△DEF'的面积比为或

【解析】

（1）连结，证明，得出，则结论得证；

（2）求出，，连结，则，由弧长公式可得出答案；

（3）①如图3，过作于，则，四边形是矩形，设圆的半径为，则．，证明，由比例线段可得出的方程，解方程即可得出答案；

②证明，当或时，根据相似三角形的性质可得出答案．

解：（1）连结DO，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵DO＝BO，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠CBD＝∠ODB．

∴DO∥BC，

∵∠C＝90°，

∴∠ADO＝90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）∵E是AO中点，

∴AE＝EO＝DO＝BO＝，

∴sin∠A＝，

∴∠A＝30°，∠B＝60°，

连结FO，则∠BOF＝60°，

∴＝．

（3）①如图3，连结OD，过O作OM⊥BC于M，

则BM＝FM，四边形CDOM是矩形

设圆的半径为r，则OA＝5﹣r．BM＝FM＝r﹣，

∵DO∥BC，

∴∠AOD＝∠OBM，

而∠ADO＝90°＝∠OMB，

∴△ADO∽△OMB，

∴，

即，

解之得r1＝1，．

②∵在（1）中∠CBD＝∠ABD，

∴DE＝DF，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BDE＝90°，

而F、F'关于BD轴对称，

∴BD⊥FF'，BF＝BF'，

∴DE∥FF'，

∴∠DEF'＝∠BF'F，

∴△DEF'∽∠BFF'，

当r＝1时，AO＝4，DO＝1，BO＝1，

由①知，

，

，

，

，

，

，

与的面积之比，

同理可得，当时．时，与的面积比．

与的面积比为或．