Question

【题目】如图，在中，，以为直径的⊙交于点，点为上一点，连接、，．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，⊙半径为2，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=6．

【解析】

(1)连接OD．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；

(2)连接，利用直径所对的圆周角是直角，证得ED=EA=EC，利用三角形中位线定理求得∠A=30°，再利用直角三角形中30度角的性质，即可求解．

(1)连接，

∵ED=EA，
∴∠A=∠ADE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°．
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90，
∴DE是⊙O的切线；

(2)连接，如图：

∵ED=EA，
∴∠A=∠ADE，

∵BC为直径，
∴∠CDB=∠CDA=90°，

∵∠A+∠ACD=90°，∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴ED=EC，
∴ED=EA=EC，
∴点E为AC中点，

∵点O为BC中点，

∴OE∥AB，

∴∠CEO=∠A=30°，

在中，∠OCE=90°，OC=2，∠CEO =30°，

∴，

∴，

在中，∠ADC=90°，，∠A =30°，

∴，

．