Question

如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，AD=2，点P为梯形内部一点，若PB=PC，且PA⊥PD．
（1）求证：PA=PD；
（2）求PA的长．

Answer 1

（1）解法一：
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB．（2分）
又PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．（4分）
∴∠ABP=∠DCP．（5分）
∴△ABP≌△DCP．（6分）
∴PA=PD．（7分）
解法二：∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．（2分）
∵线段BC的垂直平分线也是等腰梯形ABCD的边AD的垂直平分线，（4分）
即点P也在线段AD的垂直平分线上，（5分）
∴PA=PD．（7分）

（2）在Rt△PAD中，PA²+PD²=AD²（8分）
即：2PA²=2²（9分）
PA=

2

．（10分）