题目内容
如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边PQ在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：
| AH |
| AD |
| EF |
| BC |
（2）当矩形EFPQ的面积为20时，求EF的值．
分析：（1）先根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，证明出△AEF∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比相等即可求证；
（2）设EF=x．先由（1）
=
，则可用含x的代数式表示AH，进而得到EQ，再根据矩形EFPQ的面积为20，列出方程，解方程即可．
（2）设EF=x．先由（1）
| AH |
| AD |
| EF |
| BC |
解答：（1）证明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ，
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴
=
；
（2）解：设EF=x．
由（1）得
=
，
∵BC=10，AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=
x，
∴EQ=HD=AD-AH=8-
x，
∵矩形EFPQ的面积为20，
∴x（8-
x）=20，
解得x1=x2=5．
故当矩形EFPQ的面积为20时，EF的值为5．
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴
| AH |
| AD |
| EF |
| BC |
（2）解：设EF=x．由（1）得
| AH |
| AD |
| EF |
| BC |
∵BC=10，AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=
| 4 |
| 5 |
∴EQ=HD=AD-AH=8-
| 4 |
| 5 |
∵矩形EFPQ的面积为20，
∴x（8-
| 4 |
| 5 |
解得x1=x2=5．
故当矩形EFPQ的面积为20时，EF的值为5．
点评：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，难度中等．
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