Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝20．动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2个单位长的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t(秒)．

(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(2)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

(3)是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作PE⊥BC于点E，则四边形PDCE是矩形， 　　∴PE＝DC＝12，∵CQ＝t，∴BQ＝16－t，　1分 　　∴()　3分 　　(2)①若PB＝PQ，∵PE⊥BC，∴BE＝QE，∵EC＝PD＝， 　　∴BE＝，QE＝ 　　∴，解得　4分 　　②若QB＝QP，作QF⊥AD于点F，在Rt△PFQ中， 　　∵FQ＝CD＝12，PF＝，∴，∵ 　　∴，整理得，解得，　6分 　　③若BQ＝BP，在Rt△PBE中，∵PE＝CD＝12，BE＝ 　　∴ 　　∴，整理得， 　　∵， 　　∴该方程没有实数根，故BQ≠BP，　7分 　　∴或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形　8分 　　(3)假设存在某一时刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于点M　9分 　　∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°， 　　∵PQ⊥BD，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝∠2， 　　∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，　10分 　　∴，∴，　11分 　　解得，∴当时，PQ⊥BD　12分