Question

【题目】某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？

(2)如图2，若在一个坡度为1：5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．

①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与斜坡的最近距离为多少米？

②这种情况下，直接写出下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？

Answer 1

【答案】(1) 22米；(2)①13.48米；②17.75米．

【解析】

(1)因为水平距离间隔80米，说明最低点的横坐标为40，代入y=，求出高度，加上6即可；

（2）以点D为原点，DC方向为x轴正方向建立坐标系，设抛物线的解析式为y=x2+bx+c，把A（0，20），B(50，30)代入，可求出抛物线的解析式。根据D(0，0)、E(50，10)求出直线DE的解析式，设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于G，求出表示MG距离的解析式的最小值，再作MH⊥DE与H，根据△MGH∽△DEC以及坡度1：5，即可求出下垂的电缆与斜坡的最近距离MH的长，根据抛物线解析式的最值即可求出下垂电缆与地面的最近距离.

(1)y=×402=16，

16+6=22米；

固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度．

(2)如图，①以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系．

设此时抛物线解析式为y=x2+bx+c，

易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得b=-，c＝20．

∴y=x2﹣x+20，

易求得斜坡所在直线的解析式为：y=x，

设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于G．

则：MG=m2﹣m+20﹣m＝(m﹣25)2+13.75，

∴当m=25时，MG的最小值为13.75．作MH⊥DE与H．

MH=13.75÷×5=13.48（米），

即在竖直方向上，下垂的电缆与斜坡的最近距离为13.48米，

②∵y＝x2﹣x+20＝(x-15)2+17.75，

∴下垂的电缆与地面的最近距离为17.75米．

故答案为：(1) 22米；(2)①13.48米；②17.75米．