Question

【题目】如图，在菱形中，，点为边上一点，连接交对角线于点．

（1）如图1，已知于，菱形的边长为6，求线段的长度；

（2）如图2，已知点为边上一点，连接交线段于点，且满足，，求证：．

图1 图2

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】分析：(1)在直角△CDF中，根据勾股定理和30°角求CF的长，在直角△BCF中，由勾股定理求BF的长，通过△AFG∽△CBG，即可求FG；(2)取CH的中点M，连接BM，可得∠BMC＝150°，证△ABH≌△BCM，则可得到∠AHE＝90°.

详解：(1)∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°

∴AD＝AB＝BC＝CD＝AC，∠FAC＝60°，AD//BC

∴△AFG∽△CBG，

∵CF⊥AD，∴AF＝AD＝BC，

∴，∴FG＝.

Rt△CDF中，由勾股定理可得，CF＝，

Rt△BCF中，因为BF2＝BC2＋CF2，所以BF＝.

则FG＝×.

(2)如图，取CH的中点M，连接BM，

∵CH＝2BH，∴CM＝HM＝BH，∴∠HBM＝∠HMB.

∵∠FHC＝60°，∠FHC＝∠HBM＋∠HMB，

∴∠HMB＝30°，∴∠BMC＝150°.

∵∠FHC＝∠HBC＋∠HCB＝60°，∠ABC＝∠HBC＋∠ABH＝60°

∴∠HCB＝∠ABH，

∴△ABH≌△BCM(SAS)，∴∠AHB＝∠BMC＝150°.

∵∠BHE＝∠FHC＝60°，∴∠AHE＝∠AHB－∠BHE＝90°.

∴AH⊥CE.