Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG²﹣GE²=EA²．

Answer 1

解：（1）线段BH与AC相等。证明如下：
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，
∴△DBH≌△DCA（ASA）。∴BH=AC。
（2）证明：连接CG，

∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB。
在△ABE和△CBE中，
∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，
∴△ABE≌△CBE（ASA）。∴EC=EA。
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG²﹣GE²=EC²。
∴BG²﹣GE²=EA²。

解析