Question

【题目】如图1，折叠矩形，具体操作：①点为边上一点（不与、重合），把沿所在的直线折叠，点的对称点为点；②过点对折，折痕所在的直线交于点、点的对称点为点．

（1）求证：∽．

（2）若，．

①点在移动的过程中，求的最大值．

②如图2，若点恰在直线上，连接，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①的最大值为；②

【解析】

（1）由矩形和折叠的性质可知，然后通过得出，则可证明结论；

（2）设，则,根据相似三角形的性质有，进而可表示出DG的长度，然后利用二次函数的性质求最大值即可；

（3）连接DH，设，则,先通过勾股定理求出CF,CE，进而在中，利用勾股定理求出x的值，进而可求DE,DG,EG的长度，然后利用求出DM的长度，最后利用即可求解．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴ ．

由折叠的性质可知， ，，

又∵，

∴．

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴∽；

（2）①设，则,

由（1）知：∽

∴，

∴（），

故当时，取到最大值为；

②连接DH，

设，则,

由折叠的性质可知，BF=AB=3，BC=5，

在中，

，

∴．

在中，

∵，

∴，

解得，

∴DE=4．

由①知：，

∴．

∵垂直平分DH，

∴DH=2DM，

又∵，

∴，

∴．