Question

【题目】如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE=弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G.

（1）判断△FAG的形状，并说明理由.

（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由

（3）在（2）的条件下，若BG=26，BD-BF=7,求AB的长。

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)4.

【解析】

（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，从而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF=BF，从而证得FA=FG，判定等腰三角形；
（2）成立，证明方法同（1）；
（3）首先根据上题得到AF=BF=FG，从而利用已知条件得到FB=13，然后利用勾股定理得到BD=12，DF=5，从而求得AD=8，最后求得AB=4.

解：（1）△FAG是等腰三角形，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，

∴∠ABE+∠AGB=90°，∵AD⊥BC ，∴∠ACB+∠DAC=90°，∵弧AE=弧AB，

∴∠ABE=∠ACB，∴∠AGB=∠DAC，∴△FAG是等腰三角形.

（2）成立.

∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，

∴∠ABG+∠G=90°，∵AD⊥BC，∴∠ACB+∠CAF=90°，∵弧AE=弧AB，

∴∠ABG=∠ACB，∴∠G=∠CAF，∴△FAG是等腰三角形；

（3）由（2）中可得：AF=BF=FG，∵BG=26，∴BF=13，在Rt△BDF中，BD2 +DF2=BF2，∴BD2 +DF2=169，又∵BD -DF=7，解得BD=12，DF=5，∴AD=AF-DF=13-5=8，∴AB=.