Question

如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为______度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（3）当0°＜α＜45°，连接BD，利用图4探究∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数是否发生变化，并给出你的证明．

Answer 1

（1）∵AD∥BC，
∴∠FGC=∠D=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AFD=∠CFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE=15°，
∴当α为 15度时，AD∥BC；

（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；






（3）当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不变；
理由如下：
设BD分别交AC、AE于点M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，
∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，
∵∠C=30°，∠E=45°，
∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°；