题目内容

如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P是AB上的一个动点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
（3）用x的代数式表示PQ的长（不必写出解题过程）．

解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，设BP=x，
∴BE= $\text{[math]}$ ，EC=4- $\text{[math]}$ ，CF=2- $\text{[math]}$ ，
AF=4-2+ $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ，
∵△BEP∽△AQF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴AQ=1+ $\text{[math]}$ ，
∴y=1+ $\text{[math]}$ （0＜x≤4）；

（2）当x+y=4，x+1+ $\text{[math]}$ =4，
∴ $\text{[math]}$ x=3，
∴x= $\text{[math]}$ ，
故BP为 $\text{[math]}$ 时，P与Q重合；

（3）PQ= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
PQ= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设BP=x，利用等边三角形中，三个角均为60°，三边长相等，逐步求出BE，EC，CF，AF的长，利用△BEP∽△AQF，对应边成比例，求出AP与AQ之间的关系；
（2）点P与点Q重合时，有AQ+AP=AB，代入关系式求解，
（3）根据题意及（1）（2）即可推理得出答案．
点评：本题主要考查了利用锐角三角函数的概念，逐步找到x与y关系，同时考查了相似三角形对应边成比例的性质，比较综合，难度较大．