Question

12．如图：直线AB经过点A（0，3）点B（$\sqrt{3}$，0），点M在y轴上，⊙M经过点A、B，交x轴于另一点C．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点M的坐标；
（3）点P是劣弧AC上一个动点，当P点运动时，问：线段PA，PB，PC有什么数量关系？并给出证明．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（0，3）和点B（$\sqrt{3}$，0）代入y+kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$解方程组即可．
（2）如图1中，连接BM．设AM=BM=r．在Rt△BMO中，由OM²+OB²=BM²，OM=3-r，OB=$\sqrt{3}$，可得（3-r）²+（$\sqrt{3}$）²=r²，解方程即可．
（3）结论：PB=PA+PC，如图2中，连接AC、在PB上截取PN=PC，连接CN．首先证明△ACB，△PCN都是等边三角形，再证明△PCA≌△NCB，推出PA=BN，由此即可解决问题．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（0，3）和点B（$\sqrt{3}$，0）代入y+kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3．

（2）如图1中，连接BM．设AM=BM=r．

在Rt△BMO中，
∵OM²+OB²=BM²，OM=3-r，OB=$\sqrt{3}$，
∴（3-r）²+（$\sqrt{3}$）²=r²，
∴r=2，
∴OM=3-2=1，
∴点M坐标为（0，1）．

（3）结论：PB=PA+PC，理由如下：
如图2中，连接AC、在PB上截取PN=PC，连接CN．

∵OM⊥BC，
∴OC=OB，
∴AC=AB，
∵tan∠ABO=$\frac{AO}{OB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠ACB=∠CAB=60°，
∴∠CPB=∠CAB=60°，∵PC=PN，
∴△PCN是等边三角形，
∴CP=CN，∠PCN=60°，
∴∠PCN=∠ACB=60°，
∴∠PCA=∠NCB，∵PC=CN，CA=CB，
∴△PCA≌△NCB，
∴PA=BN，
∵PB=PN+BN，PN=PC，BN=PA，
∴PB=PA+PC．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、一次函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．