Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于M、N两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）在x轴上是否存在点P，使△MOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点N的坐标代入反比例函数的解析式可求出k的值，将M和N的坐标代入一次函数解析式，联立求解可得出一次函数的解析式．
（2）寻找反比例函数图象在一次函数图象之上的x的取值范围即可．
（3）分两种情况进行寻找，①当OM为腰时，②当OM为底时，这样即可寻找出符合条件的点P的坐标．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

图象过点N（-1，-4），M（2，m），
∴k=（-1）×（-4）=4，m=

k

2

=

4

2

=2，
将点M、N的坐标代入一次函数解析式y=ax+b中，
可得

2a+b=2 -a+b=-4

，
解得

a=2 b=-2

，
∴一次函数的解析式为y=2x-2，反比例函数的解析式为y=

4

x

；

（2）根据图象可得当0＜x＜2或x＜-1时，反比例函数y=

4

x

的值大于一次函数y=2x-2的值；

（3）OM=

22+22

=2

2

，OM与x轴的夹角为45°，
①当OM为腰时，由OM=OP得P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0）；由OM=MP得，P₃（4，0）；
②当OM为底时，得P₄（2，0）；
∴符合条件的有4个，分别为：P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0），P₃（4，0），P₄（2，0）．

点评：此题考查了反比例函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数解析式及等腰三角形的知识，综合性较强，解答本题的关键是正确确定两函数的解析式，要求我们能根据函数图象判断该函数值的大小，难度较大．