Question

附加题：（y-z）²+（x-y）²+（z-x）²=（y+z-2x）²+（z+x-2y）²+（x+y-2z）²．
求

(yz+1)(zx+1)(xy+1)

(x2+1)(y2+1)(z2+1)

的值．

Answer 1

分析：先将已知条件化简，可得：（x-y）²+（x-z）²+（y-z）²=0．因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．将所求代数式中所有y和z都换成x，计算即可．

解答：解：∵（y-z）²+（x-y）²+（z-x）²=（y+z-2x）²+（z+x-2y）²+（x+y-2z）²．
∴（y-z）²-（y+z-2x）²+（x-y）²-（x+y-2z）²+（z-x）²-（z+x-2y）²=0，
∴（y-z+y+z-2x）（y-z-y-z+2x）+（x-y+x+y-2z）（x-y-x-y+2z）+（z-x+z+x-2y）（z-x-z-x+2y）=0，
∴x²+y²+z²-2xy-2xz-2yz=0，
∴（x-y）²+（x-z）²+（y-z）²=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
∴

(yz+1)(zx+1)(xy+1)

(x2+1)(y2+1)(z2+1)

=

(x2+1)(y2+1)(z2+1)

(x2+1)(y2+1)(z2+1)

=1．

点评：本题中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，要仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．