Question

8．如图，在Rt△ACB中，∠A=30°，过点B、C的⊙O交AB于D，交AC于E，点F在AE上，连接DE、DC、BE和DF，已知BC=EC，AD=AF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当BC=4时，求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接半径OD，可求得∠ODB=15°，∠ADF=75°，进一步可求得∠ODF=90°，可证得结论；
（2）先求出BE，证明△ADC∽△AEB，有$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$，可求出CD的长．

解答 （1）证明：如图，连接半径OD，
∵∠A=30°，AF=AD，
∴∠ADF=75°，
∵BE为直径，BC=EC，
∴∠CBE=45°，且∠ABC=60°，
∴∠OBD=∠ODB=15°，
∴∠ODF=180°-（∠ODB+∠ADF）=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：
在Rt△BCE中，BC=CE=4，
∴BE=$4\sqrt{2}$，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC=8，AC=$4\sqrt{3}$，
又∠ABE=∠DCA，∠A=∠A，
∴△ADC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$，即$\frac{8}{4\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{CD}$，
解得CD=2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．