Question

（2013•达州）已知反比例函数y=

k1

3x

的图象与一次函数y=k₂x+m的图象交于A（-1，a）、B（

1

3

，-3）两点，连结AO．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点A（-1，a）、B（

1

3

，-3）代入反比例函数y=

k1

3x

中得：-3×

1

3

=（-1）×a=k₁，可求k₁、a；再将点A（-1，a）、B（

1

3

，-3）代入y₂=k₂x+m中，列方程组求k₂、m即可；
（2）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k1

3x

的图象经过B（

1

3

，-3），
∴k₁=3×

1

3

×（-3）=-3，
∵反比例函数y=

k1

3x

的图象经过点A（-1，a），
∴a=1．
由直线y₂=k₂x+m过点A，B得：

-k2+m=1 1 3 k2+m=-3

，
解得

k2=-3 m=-2

．
∴反比例函数关系式为y=-

1

x

，一次函数关系式为y=-3x-2；

（2）点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，点C的坐标为：（0，-

2

）或（0，

2

）或（0，2）或（0，1）．

如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个；
以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个；
以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个．
以上四个点为所求．

点评：此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、等腰三角形的性质等知识，注意分类思想的运用．