Question

（2013•达州）已知f（x）=

1

x(x+1)

，则f（1）=

1

1×(1+1)

=

1

1×2

   f（2）=

1

2×(2+1)

=

1

2×3

…，已知f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=

14

15

，求n的值．

Answer 1

分析：把f（x）裂项为

1

x

-

1

x+1

，然后进行计算即可得解．

解答：解：∵f（x）=

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=

14

15

，
∴1-

1

n+1

=

14

15

，
解得n=14．

点评：本题考查了分式的加减，把f（x）进行裂项是解题的关键，也是本题的难点．