Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后，再沿x轴对折得到 △BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q，问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为
1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB， 又D（5，2），
        ∴C（0，2），OC=2 . 
        ∴     解得 ；
        ∴抛物线的解析式为： 
 （2）点E落在抛物线上. 理由如下：
      由y = 0，得=0
     解得x₁=1，x₂=4
     ∴A（4，0），B（1，0）. 
     ∴OA=4，OB=1
   由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
  由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
   ∴点E的坐标为（3，-1）.
把x=3代入，y=得，y==-1
    ∴点E在抛物线上；
（3）存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a-1.
              S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，
           记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，
下面分两种情形：
     ①当S₁∶S₂ =1∶3时，，
     此时点P在点F（3，0）的左侧， 则PF = 3-a，
    由△EPF∽△EQG，
    得，则QG=9-3a，
    ∴CQ=3-(9-3a) =3a -6 由S₁=2，
     得，解得 ；
     ②当S₁∶S₂=3∶1时，，
    此时点P在点F（3，0）的右侧，
    则PF = a-3，由△EPF∽△EQG，
    得QG = 3a-9，∴CQ = 3 +（3 a-9）= 3 a-6，由S₁= 6，
    得，解得 ；
综上所述：所求点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）。