Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5㎝，AC=8㎝，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O
∴DF⊥DE　　　又∵AC∥DE　　　
∴DF⊥AC　　　∴DF垂直平分AC
 （2）由（1）知：AG=GC　　
又∵AD∥BC　　∴∠DAG=∠FCG
又∵∠AGD=∠CGF　　　∴△AGD≌△CGF（ASA）
∴AD=FC　　　
∵AD∥BC且AC∥DE　　　
∴四边形ACED是平行四边形
∴AD=CE　　　∴FC=CE
（3）连结AO； ∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm
在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD=AD²-AG²=5²-4²=3cm
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3
在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO²=OG²+AG² 有：r²=(r-3)²+4²解得 r=256
∴⊙O的半径为256cm.