题目内容

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=9，OC=15，将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA₁B₁C₁．将矩形OA₁B₁C₁折叠，使得点B₁落在x轴上，并与x轴上的点B₂重合，折痕为A₁D．
（1）求点B₂的坐标；
（2）求折痕A₁D所在直线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠BPB₁为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由条件知，B₂A₁=B₁A₁=BA=15，A₁O=B₁C₁=BC=9，
∴在Rt△A₁OB₂中， $\text{[math]}$
∴点B₂坐标为（12，0）；

（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，则B₁D=9-m，

∵B₁D=B₂D，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m=4，
∴D点的坐标为（15，4），
又A₁（0，9），
设折痕A₁D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
即折痕A₁D所在直线的解析式为 $\text{[math]}$ ．

（3）假设存在P点，
∵∠BPA+∠BPB₁+∠B₁PC₁=180°，∠BPB₁=90°，
∴∠BPA+∠B₁PC₁=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B₁PC₁．
在△BAP和△PC₁B₁中， $\text{[math]}$ ，
∴△BAP∽△PC₁B₁．
∴ $\text{[math]}$ ，
∵AB=15，C₁B₁=9，AC₁=24，设PC₁的长为m，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m₁=15或m₂=9．
经检验m₁=15或m₂=9是方程的两根，
当PC₁=15时，P点坐标为（0，0）；
当PC₁=9时，P点坐标为（6，0）．
综上所述，P点坐标为（0，0），（6，0）．
分析：（1）根据Rt△A₁OB₂中， $\text{[math]}$ ，可得点B₂坐标为（12，0）；
（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，则B₁D=9-m，因为B₁D=B₂D，所以 $\text{[math]}$ ，解得m=4，即D点的坐标为（15，4），设折痕A₁D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法可解得，折痕A₁D所在直线的解析式为 $\text{[math]}$ ；
（3）假设存在P点，可证明△BAP∽△PC₁B₁，得 $\text{[math]}$ ，设PC₁的长为m，所以 $\text{[math]}$ ，解得m₁=15或m₂=9，故当PC₁=15时，P点坐标为（0，0）；当PC₁=9时，P点坐标为（6，0）．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．