题目内容

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=9，OC=15，将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA1B1C1．将矩形OA1B1C1折叠，使得点B1落在x轴上，并与x轴上的点B2重合，折痕为A1D．
（1）求点B2的坐标；
（2）求折痕A1D所在直线的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得∠BPB1为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．精英家教网
分析：（1）根据Rt△A1OB2中，OB2=
A1
B
2
2
-O
A
2
1
=12，可得点B2坐标为（12，0）；
（2）B2C2=15-12=3，DC1=m，则B1D=9-m，因为B1D=B2D，所以
m2+9
=9-m，解得m=4，即D点的坐标为（15，4），设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法可解得，折痕A1D所在直线的解析式为y=-
1
3
x+9；
（3）假设存在P点，可证明△BAP∽△PC1B1，得
AB
C1P
=
AP
C1B1
，设PC1的长为m，所以
15
m
=
24-m
9
，解得m1=15或m2=9，故当PC1=15时，P点坐标为（0，0）；当PC1=9时，P点坐标为（6，0）．
解答：解：（1）由条件知，B2A1=B1A1=BA=15，A1O=B1C1=BC=9，
∴在Rt△A1OB2中，OB2=
A1
B
2
2
-O
A
2
1
=12
∴点B2坐标为（12，0）；

（2）B2C2=15-12=3，DC1=m，则B1D=9-m，精英家教网
∵B1D=B2D，
∴
m2+9
=9-m，
解得m=4，
∴D点的坐标为（15，4），
又A1（0，9），
设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴
9=b
4=15k+b
，
解得
k=-
1
3
b=9
，
即折痕A1D所在直线的解析式为y=-
1
3
x+9．

（3）假设存在P点，
∵∠BPA+∠BPB1+∠B1PC1=180°，∠BPB1=90°，
∴∠BPA+∠B1PC1=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B1PC1．
在△BAP和△PC1B1中，
∠ABP=∠B1PC1
∠BAP=∠PC1B1=90°
，
∴△BAP∽△PC1B1．
∴
AB
C1P
=
AP
C1B1
，
∵AB=15，C1B1=9，AC1=24，设PC1的长为m，
∴
15
m
=
24-m
9
，
解得m1=15或m2=9．
经检验m1=15或m2=9是方程的两根，
当PC1=15时，P点坐标为（0，0）；
当PC1=9时，P点坐标为（6，0）．
综上所述，P点坐标为（0，0），（6，0）．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
练习册系列答案
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如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA、OC是方程
2
x
=
9-x
10
的两个根（OA＞OC），在AB边上取一点D，将纸片沿CD翻折，使点B恰好落在OA边上的点E处．
（1）求OA、OC的长；
（2）求D、E两点的坐标；
（3）若线段CE上有一动点P自C点沿CE方向向E点匀速运动（点P运动到点E后停止运动），运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作ED的平行线交CD于点M．是否存在这样的t 值，使以C、E、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出t值及相应的时刻点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．
如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，
（1）求过E点的反比例函数解析式；
（2）求折痕AD的解析式．
如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
（1）求过E点的反比例函数解析式．
（2）求出D点的坐标．

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