Question

(2005　北京)已知：关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2，0)的两旁．

(1)求实数a的取值范围；

(2)当时，求a的值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解法1　∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：a＜0，且a≠－2　　① 设抛物线与x轴的两个交点的坐标为(α，0)、(β，0)，且α＞β， ∴α、β是关于x的方程的两个不相等的实数根． ∵， ∴此不等式a为任意实数．　　② 由根与系数的关系得：α＋β=2a＋1，αβ=2a－5． ∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2，0)的两旁， ∴α＜2，β＞2， ∴(α－2)(β－2)＜0， ∴αβ－2(α＋β)＋4＜0， ∴2a－5－2(2a＋1)＋4＜0， 解得：． 由①、②、③得a的取值范围是． 解法2　同解法1，得a＜0，且a≠－2① ∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2，0)两旁，且抛物线开口向上， ∴当x=2时，y＜0， ∴4－2(2a＋1)＋2a－5＜0， 解得： 由①、②得a的取值范围是． (2)解　∵和是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴． ∵ ∴a＋2＞0， ∴， 不妨设． ∴， ∴，即， ∴． 解这个方程，得： ， 经检验，都是方程的根， ，舍去， ∴a为－1为所求． 此题可作高考题，难度与高考难题相近。

提示：

点评　本题主要考查二次函数不等式的有关知识，在解题时运用了分类讨论的思想，只要掌握了最基础的知识，此题便很容易解决．