Question

(2005　北京东城)已知抛物线．

(1)求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；

(2)若m是整数，抛物线与x轴交于整数点，求m的值；

(3)在(2)的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)证明：令y=0，则． 因为， 所以此抛物线与x轴有两个不同的交点． (2)解法一  因为关于x的方程的根为， 由m为整数，当为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点． 设(其中n为整数)， 所以[n＋(m－2)][n－(m－2)]=4． 因为n＋(m－2)与n－(m－2)的奇偶性相同， 所以或． 解得m=2． 经检验，当m=2时，关于x的方程有整数根． 所以m=2． 解法二 设a是原方程的根，则a为整数，代入方程，得 a2-ma+m-2=0，解出 m、a都为整数，所以也必须为整数，只能a=0或2，此时可以计算得m=2， 故m=2. (3)当m=2时，此二次函数解析式为，则顶点A的坐标为(1，－1)．抛物线与x轴的交点为O(0，0)、B(2，0)． 如图所示，设抛物线的对称轴与x轴交于，则．在直角三角形中，由勾股定理，得，由抛物线的对称性可得，． 又， 即． 所以△ABO为等腰直角三角形． 则． 所以为所求的点． 若满足条件的点在y轴上时，设坐标为(0，y)．过A作AN⊥y轴于N，连接．则． 由勾股定理，有； ． 即．解得y=1． 所以为所求的点． 综上所述满足条件的M点的坐标为(1，0)或(0，1)．

提示：

点评　本题的第(1)问考查判别式的应用．第(2)(3)问运用了分类的方法，其中隐含着探索性的数学思想，题目看似简单，实则综合性很强．