Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④ ；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

Answer 1

【答案】D

【解析】过M作ME⊥AD于E，

∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，

∴∠MDE=∠MDC=∠CDA，∠MAD=∠MAB=∠BAD，

∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，

∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，

∴∠AMD=180°-（∠MDA+∠MAD）=90°，∴①正确；

∵DM平分∠CDE，∠C=90°，ME⊥DA，

∴MC=ME，同理ME=MB，

∴MC=MB=ME=BC，∴②正确；

∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确；

∵在Rt△DEM和Rt△DCM中，MD=MD，ME=MC，

∴Rt△DEM≌Rt△DCM，∴DE=DC，S△DEM=S△DCM，

同理AE=AB，S△AEM=S△ABM，

∴AD=AE+ED=AB+CD；S△AMD=S△DEM+S△AEM=S梯形ABCD，∴③④正确.

综上①②③④⑤都正确，故选D．