Question

如图①，△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点A，B的坐标分别（0，10），（8，4），点C在 第一象限．动点P从点A出发沿边AB―BC匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴上运动，图②是当点P在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象．

（1）求点P、Q运动的速度；

（2）求点C的坐标；

（3）求点P在边AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）关于时间t（秒）的函数关系式，并求当点P运动到边AB上哪个位置时，△OPQ的面积最大？

（4）（本小题为选做题，做对另加3分，但全卷满分不超过150分）已知点P在边AB上运动时，∠OPQ的大小随时间t的增大而增大，点P在边BC上运动时，∠OPQ的大小随时间t的增大而减小，那么当点P在这两边上运动时，使∠OPQ =90°的点P有

              ______个（只填结论，不需解答过程）．

 

  图 ①                           图②           

Answer 1

解：（1）（11-1）÷10=1（长度单位/秒）

   （2）如图，作CD⊥x轴于D，作EF∥x轴交y轴、CD分别于点E、F，

∵B（8，4）∴EB=8，OE=4，

             

∴AE=10-4=6，∴AB=BC=，∵∠ABC =90°

∴△BCF≌△ABE，∴BF=AE=6，CF=EB=8，∴CD=12，

OD=EF=EB+BF=14，∴C（14，12）；   

（3）作PG⊥y轴于G，则△AGP∽△AEB，∴，∴

    ∴，，∴OG=10-，由图②，当t=0时，x=1，∴OQ=1+t，

S_△OPQ=

    ∴ （）

    当时（在范围内），S最大.

    此时PG=，OG=10-，∴P（）.  

（4）2