Question

【题目】已知：抛物线y＝ax2﹣3ax+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝5．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，抛物线与y轴交于点C，F是第四象限抛物线上一点，FD⊥x轴，垂足为D，E是FD延长线上一点，ER⊥y轴，垂足为R，FA交y轴于点Q，若BC∥RD．求证：OQ＝CR；

（3）在（2）的条件下，在RD上取一点M，延长OM交线段DE于点N，RE交抛物线于点T（点T在抛物线对称轴的右侧），连接MT、NT，且TM⊥OM，＝，H是AF上一点，当∠DHF＝135°时，求点H的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）见解析；（3）点H（，﹣）

【解析】

y＝ax2﹣3ax+4的对称轴为x＝﹣＝，且AB＝5,得到OB、OA的长度，再到点A点C的坐标，从而求出抛物线解析式.

设点F（m，﹣m2+3m+4）,由 BC∥RD 和OQ∥DF，找到△AOQ∽△ADF，得出OQ＝OR.

点M作MG⊥OR，MP⊥RE，过点D作DK⊥AF，过点O作WO⊥ON，交ER的延长线于W，证明△MGO≌△MPT,再设设RM＝4t，TN＝5t，△WRO≌△NDO和△WTO≌△NTO，最后根据勾股定理和三角函数求解即可.

（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+4的对称轴为x＝﹣＝，且AB＝5，

∴OB＝＝4，OA＝﹣＝1，

∴点A（﹣1，0），点C（4，0），

∴0＝a+3a+4，

∴a＝﹣1，

∴抛物线y＝﹣x2+3x+4；

（2）设点F（m，﹣m2+3m+4）

∴OD＝m，DF＝m2﹣3m﹣4，

∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，

∴点C（0，4），

∴OB＝OC＝4，

∵BC∥RD，

∴，

∴OR＝OD＝m﹣4，

∵OQ∥DF，

∴△AOQ∽△ADF，

∴，

∴

∴OQ＝m﹣4，

∴OQ＝OR；

（3）如图，过点M作MG⊥OR，MP⊥RE，过点D作DK⊥AF，过点O作WO⊥ON，交ER的延长线于W，

∵∠ORD＝45°＝∠ERO，

∴∠ERD＝∠ORD，且MG⊥OR，MP⊥RE，

∴MG＝MP，

∵∠GMP＝∠TMO＝90°，

∴∠GMO＝∠PMT，且GM＝MP，∠MGO＝∠MPT＝90°，

∴△MGO≌△MPT（AAS）

∴OG＝PT，MO＝MT，

∵TM⊥ON，

∴∠TOM＝45°，

∵RO＝RG+GO＝RG+（RP﹣RT）＝RM+（RM﹣RT）

∴RO+RT＝RM，

∵＝，

∴设RM＝4t，TN＝5t，

∴RO+RT＝8t，

∵∠WON＝∠ROD，

∴∠WOR＝∠NOD，且RO＝OD，∠WRO＝∠NDO，

∴△WRO≌△NDO（ASA）

∴WO＝NO，WR＝DN，

∵∠TON＝∠TOW＝45°，OT＝OT，WO＝NO，

∴△WTO≌△NTO（SAS）

∴WT＝NT，

∴RT+WR＝RT+ND＝TN＝5t，

∴EN＝ED﹣ND＝RO﹣（5t﹣RT）＝RO+RT﹣5t＝8t﹣5t＝3t，

∴ET＝＝＝4t，

∴RO＝8t﹣RT＝4t+RT，

∴RT＝2t，RO＝6t，

∴T（2t，6t）

∴6t＝﹣4t2+6t+4；

∴t＝1或t＝﹣1（舍去）

∴RC＝2＝OQ，

∴AQ＝＝＝

∴tan∠QAO＝＝2，

∵∠DHF＝135°，

∴∠DHK＝45°，且DK⊥AF，

∴∠DHK＝∠KDH＝45°，

∴DK＝KH，

∵sin∠DAK＝ ＝，

∴DK＝7×＝

∴tan∠QAO＝＝2

∴AK＝

∴AH＝，

∵sin∠QAO＝＝＝，

∴HS＝，

∵tan∠QAO＝

∴AS＝，

∴OS＝，

∴点H（，﹣）