Question

【题目】如图，在四边形中，，、相交于点，为中点，延长到点，使.

（1）求证：；

（2）求证：四边形为平行四边形；

（3）若，，，直接写出四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

（1）由AAS证明△ADE≌△CBE，即可得出AE＝CE；

（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AB＝CD，证出AB＝DF，即可得出四边形ABDF为平行四边形；

（3）由平行四边形的性质得出∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，证出∠DBA＝∠BAC，得出AE＝BE＝DE，证出∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD＝=,

即可得出四边形ABDF的面积．

解答：（1）证明：∵AD∥CB，

∴∠DAC＝∠BCA，

∵E为BD中点，

∴DE＝BE，

在△ADE和△CBE中，

∴△ADE≌△CBE（AAS），

∴AE＝CE；

（2）证明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵DF＝CD，

∴AB∥DF，AB＝DF，

∴四边形ABDF为平行四边形；

（3）解：∵四边形ABDF为平行四边形，

∴∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，

∵∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠DBA＋∠BAC，

∴∠DBA＝∠BAC，

∴AE＝BE＝DE，

∴∠BAD＝90°，

∵AB＝CD＝1，

∴AD＝=,

∵DF＝AB＝1，

∴四边形ABDF的面积＝DF×AD＝