Question

【题目】如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）的面积何时最大？求出此时点的坐标和最大面积；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D点坐标为（1，3），面积的最大值为；（3）存在，点N的坐标为：（0，3）或（，-3）或（，-3）．

【解析】

（1）令，求出y的值，进而得到C点的坐标，然后将抛物线设成交点式，然后将C点代入即可求出抛物线的解析式；

（2）先通过待定系数法求出直线BC的解析式，然后过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，设点D（m，），则点H（m，m+3），求出DH的长度，然后利用和二次函数的性质求出m的值和面积的最大值，进而即可求出D点的坐标；

（3）分两种情况：①当BD是平行四边形的一条边时，利用平行四边形的性质可知N的纵坐标的绝对值为3，然后利用抛物线的解析式即可求出横坐标；②当BD是平行四边形的对角线时，利用对角线中点的坐标即可求出N点的纵坐标，进而利用抛物线的解析式即可求出横坐标．

解：（1）令，，

∴．

∵，，

设抛物线交点式表达式为：y=a（x+1）（x-2），

将代入得-2a=3，解得：a=，

故抛物线的表达式为：；

（2）设直线BC的解析式为

将代入解析式中得

解得

∴直线BC的表达式为：，

如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，

设点D（m，），则点H（m，m+3）

∴

∴

=

=，

∴m=1，面积最大，最大为，

当 时，，

∴D点的坐标为（1，3）；

（3）m=1时，D点为（1，3），

①当BD是平行四边形的一条边时，

设点N（n，）

则点N的纵坐标的绝对值为3，

即，

解得：n=0或1（舍去）或，

故点N的坐标为（0，3）或（，-3）或（，-3），

②当BD是平行四边形的对角线时，

利用平行四边形对角线的中点可知N点的纵坐标为3，

∴此时N的坐标为（0，3）；

故点N的坐标为：（0，3）或（，-3）或（，-3）．