Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，sin∠ABC=

3

2

．
（1）求⊙O的半径；
（2）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形；
（3）当t为何值时，△BEF的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠ABC=

3

2

，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，AB=2BC=4cm，
∴OA=

AB

2

=

4

2

=2cm，即r=2cm；

（2）①当EF⊥BC时．
因为AB为⊙O直径，
所以∠C=90°，
当EF⊥BC，
则有△EBF∽△ABC，
于是

BF

BC

=

BE

BA

，
即

t

2

=

4-2t

4

，
解得t=1．
②当EF⊥AB时．
则有△EBF∽△BCA，
于是

EB

CB

=

BF

AB

，
即

t

4

=

4-2t

2

，
解得t=

8

5

．

所以，当t=1s或

8

5

s时，△BEF为直角三角形．

（3）作△BFE的BE边上的高FG．
则FG=BF•sin∠ABC=

3

2

t．
S_△EFB=

1

2

EB•FG=

1

2

（4-2t）

3

2

t=-

3

2

t²+

3

t，
当t=-

3

2×(- 3 2 )

=1时，S_△EFB取得最大值，为S_最大=-

3

2

+

3

=

3

2

．